Bài toán điều khiển H – vô cùng cho một lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm

ợ sử ụ tr ý tết ề ể ề ể t
tí t tr ề ể ề ữ ề ể tố
r ú t sử ụ H

t ề
ể H

tr ý tết ề ể ể t ợ q trì ề ể ổ ị
ề ữ t ề ể H

sự ết ợ ủ t ổ ị
t tố t ề ể H

tì ề ể ể ệ
ổ ị t ề ệ tố ứ trớ t ề
ể H

ệ tế tí t ổ ụ sử ụ
rss ề ệ ổ ị t ợ ự tr ệ ệ
ủ t tứ tr tế tí trì t số ố ớ
ệ tế tí t tì ề ệ ợ ự tr ệ ủ
trì t ó tr t
r ề ệ ủ ể ợ t ề ể H

ệ tế tí
t ó trễ ớ tết ề ể ợ ủ ệ ề ể
ồ
trì ữ ế tứ sở ề trì tờ
trì ó tí ổ ị ố
ớ ệ PP ế ế trì t ề ể ợ t
ổ ị t ề ể H

P ố ề ế ột số
ổ ề ợ sử ụ ề tr
r ớ tệ ột số ết q ó ề ề ệ
ợ ủ t ề ể H

ệ tế tí t ó trễ
tr ự tr ố q ệ ữ ề ể ề t ề ể
ợ ề 0 ủ ệ ề ể sự tồ t ệ ủ trì t
ố trì ề ệ ó ờ ủ t
ề ể H

ề ữ ớ ệ trì t ó trễ

ồ tờ ở ỗ ết q ề r í ụ
ết q ứ ớ ủ ợ trì tr
ứ ề ệ ủ t ề ể H

ề ữ ột ớ
ệ PP t ó trễ trễ ế t ỗ ợ ự
ề ể ợ ổ ị ự tr ệ ủ trì t
r sốt q trì ọ t ợ sự ú
ỡ t tì sự ỉ tú ủ t ớ ũ
ọ Pt ỉ tr tứ ĩ tết ò trề t
ữ ọ ổ í ứ ọ
tỏ ò ết s s t tớ t r ể t
ũ ợ sự ộ í ệ ủ t tr tổ ộ t
tí trờ ọ ọ tự ọ ố
ộ ù ớ sự q t t ề ệ ủ trờ ọ tự
ò tố ề ể ệ ọ rt ề ữ ó
ữ ồ ộ ự ớ ể ó ộ ợ ọ t tr ổ
ứ ử ờ t t tớ t
ị ó tr
ì tờ ự t ó tể
tr ỏ tế sót ế rt ợ sự ó ý ủ t



sở t ọ
r trì ệ ủ
trì ó tí ổ ị ố ớ ệ
trì ó s ó ị ĩ ết q q
ế t ề ể ợ t ổ ị t ề ể
H

ứ sử ụ
P trì
P trì tờ
ét trì



x = f(t, x), t I = [t
0
, t
0
+ b]
x(t
0
) = x
0
, x
0
R
n
, t
0
0

tr ó
f(t, x) : I ì D R
n
, D = {x R
n
: x x
0
a}.
ệ x(t) ủ trì số x(t) tụ
t
(t, x(t)) I ì D,

x(t) t trì
sử f(t, x(t)) tụ tr I ì D ó ệ x(t) ở tí
s
x(t) = x
0
+

t
t
0
f(s, x(s))ds
P trì
sử h > 0 í ệ C = C([h, 0], R
n
) tụ
từ [h, 0] R
n
ớ ợ ị ở = sup
h0
(). ớ
t ì t 0 t x
t
() = x(t + ),h 0 qỹ ủ x(t) ớ
x
t
= sup
s[h,0]
x(t + s). P trì ó trễ
x(t) = f(t, x
t
), t 0,
x(t) = (t), t [h, 0],
tr ó f : R
+
ì C R
n
trớ P trì ó trễ ợ
í ệ f (t) C
í ụ ột số trì ó trễ ợ ứ tr

P trì tế tí t ó trễ rờ r
x(t) = A(t)x(t) + A
1
(t)x(t h), t 0,
x(t) = (t), t [h, 0],
tr ó h 0; x(t) R
n
A(t), A
1
(t) R
nìn
tr tụ
trớ tr R
+
C([h, 0], R
n
) ớ
= sup
t[h,0]
(t).

P trì tế tí t ó trễ ố
x(t) = A(t)x(t) + A
1
(t)

t
th
x(s)ds, t 0,
x(t) = (t), t [h, 0],
tr ó h 0; x(t) R
n
A(t), A
1
(t) R
nìn
tr tụ
trớ tr R
+
C([h, 0], R
n
) ớ
= sup
t[h,0]
(t).
P trì tế tí t ó trễ ỗ ợ
x(t) = A(t)x(t) + A
1
(t)x(t h) + A
2
(t)

t
tk
x(s)ds, t 0,
x(t) = (t), t [ max(h, k), 0],
tr ó h, k 0; x(t) R
n
A(t), A
1
(t), A
2
(t) R
nìn
tr
tụ trớ tr R
+
C([ max(h, k), 0], R
n
) ớ

= sup
t[ max(h,k),0]
(t).
í ổ ị ủ ệ trì
ét ệ trì ó ớ tết f(t, 0) 0 tứ
ệ ó ệ tự t ổ ị ủ ệ trì
tờ t ó ị ĩ s
ị ĩ
ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị ế ớ ọ số > 0, t
0
0,
tồ t số = (, t
0
) > 0 s t ì ệ x(t
0
, )(t) ủ ệ t
< tì
x(t
0
, )(t) < , t t
0
.

ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị tệ ế ó ổ ị
ữ ớ ỗ t
0
0 tồ t = (t
0
) > 0 s ớ ọ C t
< t ó
lim
t
x(t
0
, )(t) = 0.
ệ ủ ệ ợ ọ ổ ị ũ ế tồ t số M >
0, > 0 s ọ ệ ủ ệ t
x(t
0
, )(t) Me
(tt
0
)
, t t
0
.
P
ử ụ ố ớ trì
tờ ú t ó tể ét ợ tí ổ ị ủ ệ f
ị ĩ ét ệ f tụ V : R
+
ì C R
ợ ọ ủ ệ ế tồ t số
1
,
2
,
3
> 0
t

1
x(t)
2
V (t, x
t
)
2
x
t

2
,


V (t, x
t
)
3
x(t)
2
ớ ọ ệ x(t) ủ ệ
ị ý ế ệ f tồ t tì ệ ổ
ị tệ
t ề ể ợ
ét ột ệ tố ề ể t ở trì tế tí í
ệ [A(t), B(t)]
x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t 0,

tr ó x(t) R
n
t tr t u(t) R
m
t ề ể n
m; A(t) R
nìn
, B(t) R
nìm
, t 0 tr tụ tr R ột
ét u(t) ị tr [0,) tí ị trị tr
R
m
sẽ ợ ọ ề ể ợ ủ ệ ớ ề
ể ợ t tờ tr L
p
([0,), R
m
)
ét ệ ề ể tế tí ớ trị x(0) = x
0
trớ
ó ứ ớ ỗ ề ể ợ u(t) t ủ ệ
trì tế tí ó ệ x(t, x
0
, u) t tờ ể t
ợ ở
x(t, x
0
, u) = U(t, 0)x
0
+

t
0
U(t, s)B(s)u(s)ds, t 0
tr ó U(t, s) tr ệ ủ ệ tế tí t t
x(t) = A(t)x(t), t 0.
ị ĩ tr t x
0
, x
1
R
n
(x
0
, x
1
) ợ ọ ề
ể ợ s tờ t
1
> 0 ế tồ t ề ể ợ u(t) s
ệ x(t, x
0
, u) ủ ệ t ề ệ
x(0, x
0
, u) = x
0
, x(t
1
, x
0
, u) = x
1
.
ị ĩ ệ [A(t), B(t)] ọ ề ể ợ t ề 0 ế
ớ t ì tr t x
0
R
n
tồ t ột tờ t
1
> 0 s (x
0
, 0)
ề ể ợ s tờ t
1
ó tồ t T > 0 s

T
0
U(T, s)B(s)B
T
(s)U
T
(T, s)ds > 0.
rớ t ú t ét ết q sở t ề tí ề ể ợ ủ
ệ tế tí ừ
x(t) = Ax(t) + Bu(t), t 0,

tr ó x(t) R
n
, u(t) R
m
, A, B tr ó số ề t
ứ
ị ý
ệ tế tí ừ ề ể ợ t ề 0 ỉ
rank[B, AB, , A
n1
B] = n.
ể ét tí ề ể ợ ủ ột ệ tế tí ừ t
ỉ tr [B, AB, , A
n1
B](nìm) s ó ể tr ủ
ó ủ tr ợ ọ tr ề ể ợ í ệ [A/B]
í ụ ét tí ề ể ợ ủ ệ





x
1
= 2x
1
+ 2x
2
+ u
x
2
= x
1
x
2
.
ó
A =


2 2
1 1


B =


1
0


.
ì
rank[A/B] = rank


1 2
0 1


= 2
ệ ề ể ợ t ề 0
ó ú t ó tể ể tr ợ tí ề ể ợ t
ệ tế tí ừ ớ ề ệ
ị ý sử tr A(t), B(t) tí tr
[t
0
,) ệ ề ể ợ t ề 0 ỉ
t
1
[t
0
,) : rank[M
0
(t
1
), M
1
(t
1
), , M
n
(t
1
)] = n,
tr ó
M
0
(t) = B(t),

M
k+1
(t) = A(t)M
k
(t) +
d
dt
M
k
(t), k = 0, 1, , n 1.
ú ý r ế ệ ừ tứ tr A(.), B(.) số tì
ề ệ tr ị ý ồ t
í ụ ét ệ tr ó
A(t) =


1
2
cos t 0
0
1
2
sin t


,
B(t) =


e
sin t
0
0 e
cos t


.
ó
M
0
(t) = B(t) =


e
sin t
0
0 e
cos t


,
M
1
(t) = A(t)B(t) +
d
dt
M
0
(t) =


3
2
cos te
sin t
0
0
3
2
sin te
cos t


.
ì tr [M
0
(t), M
1
(t)] ó ớ ọ t > t
0
= 0 t ị ý
ệ [A(t), B(t)] ề ể ợ t ề 0
ị ĩ ệ [A(t), B(t)] ọ ề ể ợ ề t ế
tồ t N > 0, c
1
, c
2
, c
3
, c
3
, c
4
> 0 s ớ ọ t R
+

c
1
I W (t, t + N) c
2
I
c
3
I U(t, t + N)W (t, t + N)U(t, t + N) c
4
I
tr ó
W (t, t + N) =

t+N
t
U(N, s)B(s)B
T
(s)U
T
(N, s)ds.

t ổ ị
ét ệ ề ể t ở ệ trì





x(t) = f(t, x(t), u(t)), t 0
x(t) R
n
, u(t) R
m
.

ị ĩ ệ ọ ổ ị ợ ế tồ t
h(x) : R
n
R
m
s ớ ề ể ệ trì
x(t) = f(t, x(t), h(x(t))), t 0,
ổ ị tệ h(x) tờ ọ ề ể ợ
rờ ợ ệ ệ tế tí
x = Ax + Bu
tì ệ ổ ị ợ ế tồ t tr K s tr (A + BK)
ổ ị
ị ý ệ tế tí ổ ị ợ ế ó ề ể
ợ t ề 0
í ụ ét ệ ề ể tế tí tr ó
A =


1 0
0 0


, B =


1
0


.
ó ệ x = Ax ổ ị ó ệ ổ ị ợ ớ K = 0
ệ ì
rank[A/B] = 1 < 2.
í ụ tr ỉ r r ế ệ ổ ị ợ tì ệ ó
ó ủ ị ý ú

Xem chi tiết: Bài toán điều khiển H – vô cùng cho một lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm