Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
24
2.3. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM
2.3.1. Bài toán tìm kiếm: Bài toán xác định vị trí của một phần tử
trong một tập hữu hạn các phần tử. Chẳng hạn chương trình kiểm tra chính tả
của các từ; tìm kiếm các từ trong một cuốn từ điển; tra cứu điểm thi đại học
v.v….Các bài toán thuộc loại này được gọi là các bài toán tìm kiếm.
Bài toán tìm kiếm tổng quát được mô tả như sau: xác định vị trí của
phần tử x trong một dãy các phần tử a
1,
a
2
, , a
n
hoặc xác định rằng nó không
có mặt trong dãy.
Input: dãy số a
1,
a
2
, , a
n
và giá trị x
Output: Nghiệm là i nếu x=a
i
và là 0 nếu x không có mặt trong dãy.
2.3.2. Thuật toán tìm kiếm tuyến tính: Tìm kiếm tuyến tính hay tìm
kiếm tuần tự. Tư tưởng thuật toán là bắt đầu bằng việc so sánh x với a
1
; khi
x=a
1
, nghiệm là vị trí a
1
, tức là 1; khi x≠a
1
, so sánh x với a
2
. Nếu x=a
2
, nghiệm
là vị trí của a
2
, tức là 2. Khi x≠a
2
, so sánh x với a
3
. Tiếp tục quá trình này bằng
cách tuần tự so sánh x với mỗi số hạng của dãy cho tới khi tìm được số hạng
bằng x hoặc là kết thúc dãy.
Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:
Procedure tìm kiếm tuyến tính (x: Item, a
1
,a
2
, ,an: Item);
Begin
i := 1;
while (i ≤ n and x ≠ a
i
) i := i + 1;
if i ≤ n then kq := i else kq := 0;
End;
{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc là 0 nếu không tìm được x}
2.3.3. Thuật toán tìm kiếm nhị phân: Thuật toán này có thể được
dùng khi dãy số được sắp xếp đơn điệu theo thứ tự tăng hoặc giảm dần.Tư
tưởng thuật toán là chọn phần tử ở vị trí giữa làm chốt, chia dãy thành 2 phần
có kích thước nhỏ hơn. Sau đó so sánh phần tử cần tìm x với chốt, nếu x lớn
hơn chốt tìm ở nửa sau của dãy, nếu x nhỏ hơn chốt tìm ở nửa trước của
dãy(áp dụng với dãy tăng), quá trình trên tiếp tục cho tới khi tìm được x hoặc
dãy chia không còn phần tử nào.
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
25
Ví dụ: Cho dãy số: A={-6,1,3,5,8,10,14,16,19,21 }; x=5; dãy gồm 10
phần tử
Gọi phần tử chốt là k, ban đầu k=8
Bước 1: k=8, so sánh x với k, x<k ta tìm kiếm x ở nửa trước {-
6,1,3,5,8}
Bước 2: k=3, so sánh x với k, x>k ta tìm kiếm x ở nửa sau {3,5,8}
Bước 3: k=5, so sánh x với k, x=k ta tìm được x kết thúc.
Dùng ngôn ngữ tựa Pascal: {Thuật toán áp dụng với dãy tăng dần}
Procedure tìm kiếm nhị phân (x: Item, a
1
,a
2
, ,an: Item);
Begin
d := 1 {d là điểm đầu của đoạn tìm kiếm}
c := n {c là điểm cuối của đoạn tìm kiếm}
while (d <c) do
begin
m:= [(d+c)/2]
if x>a
m
then d:=m+1
else c := m-1
end
if x = ai then kq := i
else kq := 0
{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc 0 nếu không tìm thấy x}
End;
2.4. ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN
2.4.1 Khái niệm về độ phức tạp của một thuật toán
Thước đo hiệu quả của một thuật toán là thời gian mà máy tính sử dụng
để giải bài toán theo thuật toán đang xét, khi các giá trị đầu vào có một kích
thước xác định. Một thước đo thứ hai là dung lượng bộ nhớ đòi hỏi để thực
hiện thuật toán khi các giá trị đầu vào có kích thước xác định. Các vấn đề như
thế liên quan đến độ phức tạp tính toán của một thuật toán. Sự phân tích thời
gian cần thiết để giải một bài toán có kích thước đặc biệt nào đó liên quan đến
độ phức tạp thời gian của thuật toán. Sự phân tích bộ nhớ cần thiết của máy
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
26
tính liên quan đến độ phức tạp không gian của thuật toán. Vệc xem xét độ
phức tạp thời gian và không gian của một thuật toán là một vấn đề rất thiết yếu
khi các thuật toán được thực hiện. Biết một thuật toán sẽ đưa ra đáp số trong
một micro giây, trong một phút hoặc trong một tỉ năm, hiển nhiên là hết sức
quan trọng. Tương tự như vậy, dung lượng bộ nhớ đòi hỏi phải là khả dụng để
giải một bài toán,vì vậy độ phức tạp không gian cũng cần phải tính đến.Vì
việc xem xét độ phức tạp không gian gắn liền với các cấu trúc dữ liệu đặc biệt
được dùng để thực hiện thuật toán nên ở đây ta sẽ tập trung xem xét độ phức
tạp thời gian.
Độ phức tạp thời gian của một thuật toán có thể được biểu diễn qua số
các phép toán được dùng bởi thuật toán đó khi các giá trị đầu vào có một kích
thước xác định. Sở dĩ độ phức tạp thời gian được mô tả thông qua số các phép
toán đòi hỏi thay vì thời gian thực của máy tính là bởi vì các máy tính khác
nhau thực hiện các phép tính sơ cấp trong những khoảng thời gian khác nhau.
Hơn nữa, phân tích tất cả các phép toán thành các phép tính bit sơ cấp mà máy
tính sử dụng là điều rất phức tạp.
Ví dụ: Xét thuật toán tìm số lớn nhất trong dãy n số a
1
, a
2
, , a
n
. Có thể
coi kích thước của dữ liệu nhập là số lượng phần tử của dãy số, tức là n. Nếu
coi mỗi lần so sánh hai số của thuật toán đòi hỏi một đơn vị thời gian (giây
chẳng hạn) thì thời gian thực hiện thuật toán trong trường hợp xấu nhất là n-1
giây. Với dãy 64 số, thời gian thực hiện thuật toán nhiều lắm là 63 giây. Ta
nói độ phức tạp là n-1
Ví dụ: Thuật toán về bài toán “Tháp Hà Nội”
Bài toán “Tháp Hà Nội” như sau: Có ba cọc A, B, C bằng kim cương và
64 cái đĩa bằng vàng các đĩa có đường kính đôi một khác nhau. Nguyên tắc
chuyển đĩa là: mỗi lần chỉ chuyển một đĩa và không được chồng đĩa to lên trên
đĩa nhỏ hơn nó. Ban đầu, cả 64 đĩa được đặt chồng lên nhau ở cột A; hai cột
B, C trống. Vấn đề là phải chuyển cả 64 đĩa đó từ cột A sang cột B lấy cột C
làm trung gian.
Xét trò chơi với n đĩa ban đầu ở cọc A (cọc B và C trống). Gọi S
n
là số
lần chuyển đĩa để chơi xong trò chơi với n đĩa.
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
27
Nếu n=1 thì rõ ràng là S
1
=1.
Nếu n>1 thì trước hết ta chuyển n-1 đĩa bên trên sang cọc B (giữ yên
đĩa thứ n ở dưới cùng của cọc A). Số lần chuyển n-1 đĩa là S
n-1
. Sau đó ta
chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C. Cuối cùng, ta chuyển n-1 đĩa từ cọc B
sang cọc C (số lần chuyển là S
n-1
).
Như vậy, số lần chuyển n đĩa từ A sang C là:
S
n
=S
n-1
+1+S
n
=2S
n-1
+1=2(2S
n-2
+1)+1=2
2
S
n-2
+2+1= =2
n-1
S
1
+2
n-
2
+ +2+1=2
n
−1.
Thuật toán về bài toán “Tháp Hà Nội” đòi hỏi 2
64
−1 lần chuyển đĩa (xấp
xỉ 18,4 tỉ tỉ lần). Nếu mỗi lần chuyển đĩa mất 1 giây thì thời gian thực hiện
thuật toán xấp xỉ 585 tỉ năm!. Ta nói độ phức tạp là 2
n
−1
Hai thí dụ trên cho thấy rằng: một thuật toán phải kết thúc sau một số
hữu hạn bước, nhưng nếu số hữu hạn này quá lớn thì thuật toán không thể
thực hiện được trong thực tế.
2.4.2. So sánh độ phức tạp của các thuật toán
Một bài toán thường có nhiều cách giải, có nhiều thuật toán để giải, các
thuật toán đó có độ phức tạp khác nhau.
Xét bài toán:
Tính giá trị của đa thức P(x)=a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+ +a
1
x+a
0
tại x
0
.
Thuật toán 1:
Procedure tính giá trị của đa thức (a
0
, a
1
, , a
n
, x
0
: real);
Begin
S:=a
0
for i:=1 to n
S:=S+a
i
x
0
i
;
End;
{S là giá trị của đa thức P(x) tại x
0
}
Chú ý rằng đa thức P(x) có thể viết dưới dạng:
P(x)=( ((a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x )x+a
0
.
Ta có thể tính P(x) theo thuật toán sau:
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
28
Thuật toán 2:
Procedure tính giá trị của đa thức (a
0
, a
1
, , a
n
, x
0
: real);
Begin
P:=a
n
for i:=1 to n
P:=P.x
0
+a
n-i
;
End;
{P là giá trị của đa thức P(x) tại x
0
}
Ta hãy xét độ phức tạp của hai thuật toán trên.
Đối với thuật toán 1: ở bước 2, phải thực hiện 1 phép nhân và 1 phép
cộng với i=1; 2 phép nhân và 1 phép cộng với i=2, , n phép nhân và 1 phép
cộng với i=n. Vậy số phép tính (nhân và cộng) mà thuật toán 1 đòi hỏi là:
(1+1)+(2+1)+ +(n+1)=
2
)1( +nn
+n=
2
)3( +nn
.
Đối với thuật toán 2, bước 2 phải thực hiện n lần, mỗi lần đòi hỏi 2
phép tính (nhân rồi cộng), do đó số phép tính (nhân và cộng) mà thuật toán 2
đòi hỏi là 2n.
Nếu coi thời gian thực hiện mỗi phép tính nhân và cộng là như nhau và
là một đơn vị thời gian thì với mỗi n cho trước, thời gian thực hiện thuật toán
1 là n(n+3)/2, còn thời gian thực hiện thuật toán 2 là 2n.
Rõ ràng là thời gian thực hiện thuật toán 2 ít hơn so với thời gian thực
hiện thuật toán 1. Hàm f
1
(n)=2n là hàm bậc nhất, tăng chậm hơn nhiều so với
hàm bậc hai f
2
(n)=n(n+3)/2.
Ta nói rằng thuật toán 2 (có độ phức tạp là 2n) là thuật toán hữu hiệu
hơn (hay nhanh hơn) so với thuật toán 1 (có độ phức tạp là n(n+3)/2).
Để so sánh độ phức tạp của các thuật toán, điều tiện lợi là coi độ phức
tạp của mỗi thuật toán như là cấp của hàm biểu hiện thời gian thực hiện thuật
toán ấy.
Các hàm xét sau đây đều là hàm của biến số tự nhiên n>0.
Định nghĩa 1: Ta nói hàm f(n) có cấp thấp hơn hay bằng hàm g(n) nếu
tồn tại hằng số C>0 và một số tự nhiên n
0
sao cho
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
29
|f(n)| ≤ C|g(n)| với mọi n≥n
0
.
Ta viết f(n)=O(g(n)) và còn nói f(n) thoả mãn quan hệ big-O (o lớn) đối
với g(n).
Theo định nghĩa này, hàm g(n) là một hàm đơn giản nhất có thể được,
đại diện cho “sự biến thiên” của f(n).
Khái niệm big-O đã được dùng trong toán học đã gần một thế kỷ nay.
Trong tin học, nó được sử dụng rộng rãi để phân tích các thuật toán. Nhà toán
học người Đức Paul Bachmann là người đầu tiên đưa ra khái niệm big-O vào
năm 1892.
Ví dụ: Hàm f(n)=
2
)3( +nn
là hàm bậc hai và hàm bậc hai đơn giản nhất
là n
2
. Ta có:
f(n)=
2
)3( +nn
=O(n
2
) vì
2
)3( +nn
≤ n
2
với mọi n≥3 (C=1, n
0
=3).
Một cách tổng quát, nếu f(n)=a
k
n
k
+a
k-1
n
k-1
+ +a
1
n+a
0
thì f(n)=O(n
k
).
Thật vậy, với n>1,
|f(n)|| ≤ |a
k
|n
k
+|a
k-1
|n
k-1
+ +|a
1
|n+|a
0
| = n
k
(|a
k
|+|a
k-1
|/n+ +|a
1
|/n
k-1
+a
0
/n
k
)
≤ n
k
(|a
k
|+|a
k-1
|+ +|a
1
|+a
0
).
Điều này chứng tỏ |f(n)| ≤ Cn
k
với mọi n>1.
Cho g(n)=3n+5nlog
2
n, ta có g(n)=O(nlog
2
n). Thật vậy,
3n+5nlog
2
n = n(3+5log
2
n) ≤ n(log
2
n+5log
2
n) = 6nlog
2
n với mọi n≥8 (C=6,
n
0
=8).
Mệnh đề: Cho f
1
(n)=O(g
1
(n)) và f
2
(n) là O(g
2
(n)). Khi đó
(f
1
+ f
2
)(n) = O(max(|g
1
(n)|,|g
2
(n)|), (f
1
f
2
)(n) = O(g
1
(n)g
2
(n)).
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại C
1
, C
2
, n
1
, n
2
sao cho
|f
1
(n)| ≤ C
1
|g
1
(n)| và |f
2
(n)| ≤ C
2
|g
2
(n)| với mọi n > n
1
và mọi n > n
2
.
Do đó |(f
1
+ f
2
)(n)| = |f
1
(n) + f
2
(n)| ≤ |f
1
(n)| + |f
2
(n)| ≤ C
1
|g
1
(n)| + C
2
|g
2
(n)| ≤
(C
1
+C
2
)g(n)
với mọi n > n
0
=max(n
1
,n
2
), ở đâyC=C
1
+C
2
và g(n)=max(|g
1
(n)| , |g
2
(n)|).
|(f
1
f
2
)(n)| = |f
1
(n)||f
2
(n)| ≤ C
1
|g
1
(n)|C
2
|g
2
(n)| ≤ C
1
C
2
|(g
1
g
2
)(n)| với mọi n >
n
0
=max(n
1
,n
2
).
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
30
Định nghĩa 2: Nếu một thuật toán có độ phức tạp là f(n) với
f(n)=O(g(n)) thì ta cũng nói thuật toán có độ phức tạp O(g(n)).
Nếu có hai thuật toán giải cùng một bài toán, thuật toán 1 có độ phức
tạp O(g
1
(n)), thuật toán 2 có độ phức tạp O(g
2
(n)), mà g
1
(n) có cấp thấp hơn
g
2
(n), thì ta nói rằng thuật toán 1 hữu hiệu hơn (hay nhanh hơn) thuật toán 2.
2.4.3. Đánh giá độ phức tạp của một thuật toán
2.4.3.1. Thuật toán tìm kiếm tuyến tính
Số các phép so sánh được dùng trong thuật toán này cũng sẽ được xem
như thước đo độ phức tạp thời gian của nó. Ở mỗi một bước của vòng lặp
trong thuật toán, có hai phép so sánh được thực hiện: một để xem đã tới cuối
bảng chưa và một để so sánh phần tử x với một số hạng của bảng. Cuối cùng
còn một phép so sánh nữa làm ở ngoài vòng lặp. Do đó, nếu x=a
i
, thì đã có
2i+1 phép so sánh được sử dụng. Số phép so sánh nhiều nhất, 2n+2, đòi hỏi
phải được sử dụng khi phần tử x không có mặt trong bảng. Từ đó, thuật toán
tìm kiếm tuyến tính có độ phức tạp là O(n).
2.4.3.2. Thuật toán tìm kiếm nhị phân
Để đơn giản, ta giả sử rằng có n=2
k
phần tử trong bảng liệt kê a
1
,a
2
, ,a
n
,
với k là số nguyên không âm (nếu n không phải là lũy thừa của 2, ta có thể
xem bảng là một phần của bảng gồm 2
k+1
phần tử, trong đó k là số nguyên nhỏ
nhất sao cho n < 2
k+1
).
Ở mỗi giai đoạn của thuật toán vị trí của số hạng đầu tiên i và số hạng
cuối cùng j của bảng con hạn chế tìm kiếm ở giai đoạn đó được so sánh để
xem bảng con này còn nhiều hơn một phần tử hay không. Nếu i < j, một phép
so sánh sẽ được làm để xác định x có lớn hơn số hạng ở giữa của bảng con hạn
chế hay không. Như vậy ở mỗi giai đoạn, có sử dụng hai phép so sánh. Khi
trong bảng chỉ còn một phần tử, một phép so sánh sẽ cho chúng ta biết rằng
không còn một phần tử nào thêm nữa và một phép so sánh nữa cho biết số
hạng đó có phải là x hay không. Tóm lại cần phải có nhiều nhất
2k+2=2[log
2
n]+2 phép so sánh để thực hiện phép tìm kiếm nhị phân (nếu n
không phải là lũy thừa của 2, bảng gốc sẽ được mở rộng tới bảng có 2
k+1
phần
tử, với k=[log
2
n] và sự tìm kiếm đòi hỏi phải thực hiện nhiều nhất 2[log
2
n]+2
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
31
phép so sánh). Do đó thuật toán tìm kiếm nhị phân có độ phức tạp là O(log
2
n).
Từ sự phân tích ở trên suy ra rằng thuật toán tìm kiếm nhị phân, ngay cả trong
trường hợp xấu nhất, cũng hiệu quả hơn thuật toán tìm kiếm tuyến tính.
Các thuật ngữ thường dùng cho độ phức tạp của một thuật toán
Độ phức tạp Thuật ngữ
O(1) Độ phức tạp hằng số
O(logn) Độ phức tạp lôgarit
O(n) Độ phức tạp tuyến tính
O(nlogn) Độ phức tạp nlogn
O(n
b
) Độ phức tạp đa thức
O(b
n
) (b>1) Độ phức tạp hàm mũ
O(n!) Độ phức tạp giai thừa
Thời gian máy tính được dùng bởi một thuật toán
Kích
thước
Các phép tính bit được sử dụng
n logn N nlogn n
2
2
n
n!
10 3.10
-9
s 10
-8
s 3.10
-8
s 10
-7
s 10
-6
s 3.10
-3
s
10
2
7.10
-9
s 10
-7
s 7.10
-7
s 10
-5
s 4.10
13
năm *
10
3
1,0.10
-8
s 10
-6
s 1.10
-5
s 10
-3
s * *
10
4
1,3.10
-8
s 10
-5
s 1.10
-4
s 10
-1
s * *
10
5
1,7.10
-8
s 10
-4
s 2.10
-3
s 10 s * *
10
6
2.10
-8
s 10
-3
s 2.10
-2
s 17 phút * *
2.5. SỐ NGUYÊN VÀ THUẬT TOÁN
2.5.1. Thuật toán Euclide
Phương pháp tính ước chung lớn nhất của hai số bằng cách dùng phân
tích các số nguyên đó ra thừa số nguyên tố là không hiệu quả. Lý do là ở chỗ
thời gian phải tiêu tốn cho sự phân tích đó. Dưới đây là phương pháp hiệu quả
hơn để tìm ước số chung lớn nhất, gọi là thuật toán Euclide. Thuật toán này
đã biết từ thời cổ đại. Nó mang tên nhà toán học cổ Hy lạp Euclide, người đã
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
32
mô tả thuật toán này trong cuốn sách “Những yếu tố” nổi tiếng của ông. Thuật
toán Euclide dựa vào 2 mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1: Cho a và b là hai số nguyên và b≠0. Khi đó tồn tại duy nhất
hai số nguyên q và r sao cho
a = bq+r, 0 ≤ r < |b|.
Trong đẳng thức trên, b được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q
được gọi là thương số và r được gọi là số dư.
Mệnh đề 2: Cho a = bq + r, trong đó a, b, q, r là các số nguyên. Khi đó
UCLN(a,b) = UCLN(b,r).
(Ở đây UCLN(a,b) để chỉ ước chung lớn nhất của a và b.)
Giả sử a và b là hai số nguyên dương với a ≥ b. Đặt r
0
= a và r
1
= b.
Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta tìm được:
r
0
= r
1
q
1
+ r
2
0 ≤ r
2
< r
1
r
1
= r
2
q
2
+ r
3
0 ≤ r
3
< r
2
r
n-2
= r
n-1
q
n-1
+ r
n
0 ≤ r
n
< r
n-1
r
n-1
= r
n
q
n
.
Cuối cùng, số dư 0 sẽ xuất hiện trong dãy các phép chia liên tiếp, vì dãy
các số dư a = r
0
> r
1
> r
2
> ≥ 0
không thể chứa quá a số hạng được. Hơn nữa, từ Mệnh đề 2 ở trên ta suy ra:
UCLN(a,b) = UCLN(r
0
,r
1
) = UCLN(r
1
,r
2
) = = UCLN(r
n-1
,r
n
) = r
n
.
Do đó, ước chung lớn nhất là số dư khác không cuối cùng trong dãy các phép
chia.
Ví dụ: Dùng thuật toán Euclide tìm UCLN(414, 662).
662 = 441.1 + 248
414 = 248.1 + 166
248 = 166.1+ 82
166 = 82.2 + 2
82 = 2.41.
Do đó, UCLN(414, 662) = 2.
Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH
33
2.5.2. Biểu diễn số trong các hệ đếm khác nhau
2.5.2.1. Biến đổi biểu diễn số ở hệ đếm khác sang hệ thập phân
Cho số N trong hệ đếm cơ số b:
N = (d
n
d
n-1
d
n-2
d
1
d
0
, d
-1
d
-2
d
-m
)
b
( N = b
dn
b
dn-1
. . . b
d0
.b
d-1
b
d-2
. . . b
d-m
)
Trước hết xét trường hợp N là nguyên. Để tìm biểu diễn của số nguyên
N trong hệ đếm thập phân, ta tiến hành các bước sau:
Bước 1. Viết N dưới dạng đa thức của cơ số b:
N = d
n
b
n
+ d
n-1
b
n-1
+ d
n-2
b
n-2
+ + d
0
b
0
Bước 2. Tính giá trị đa thức.
Trường hợp ngoài phần nguyên còn có phần phân thì ta tách phần nguyên
và phần phân. Mỗi phần được biến đổi riêng và sau đó hai kết quả được kết nối
để có kết quả cần tìm.
Ví dụ. 1110,101
2
= ?
10
.
Sau khi tách ra, ta có phần nguyên là 1110 và phần phân là 101.
Với phần nguyên ta có:
1110
2
= 1 × 2
3
+ 1 × 2
2
+ 1 × 2
1
+ 0 × 2
0
= 14
10
Tương tự, với phần phân, ta có:
0,101
2
= 1 × 2
-1
+ 0 × 2
-2
+ 1 × 2
-3
= 0,5 + 0,125 = 0,625
10
.
Vậy 1110,101
2
= 14,625
10
.
Một ví dụ khác, D3F,4
16
= ?
10
.
Cũng thực hiện như trên, ta có:
Phần nguyên: D3F
16
= D × 16
2
+ 3 × 16
1
+ F × 16
0
= 13 × 16 × 16 + 3 × 16 + 15 × 1 = 3391.
Phần phân: 0,4
16
= 4 x 16
-1
= 0,25 .
Vậy, D3F,4
16
= 3391,25
10
.
2.5.2.2. Biến đổi biểu diễn số ở hệ thập phân sang hệ đếm cơ số khác
Trước hết ta tách phần nguyên và phần phân rồi tiến hành biến đổi
chúng riêng biệt, sau đó ghép lại để có kết quả cần tìm.
a) Biến đổi biểu diễn số nguyên
Cho N là số tự nhiên. Ta viết N duới dạng đa thức:
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét