Tài liệu Toán tài chính: Lãi đơn pdf

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Tài liệu Toán tài chính: Lãi đơn pdf": http://123doc.vn/document/1035262-tai-lieu-toan-tai-chinh-lai-don-pdf.htm

CHƯƠNG 2: LÃI KÉP (Compound Interest)

2.1. Khái niệm lãi kép và cơng thức tính lãi kép
2.2. Lãi suất tỷ lệ, lãi suất tương đương và lãi suất trung bình trong lãi kép
2.3. Lãi suất thực trong lãi kép
2.4. So sánh giữa lãi đơn và lãi kép
2.5. Ứng dụng lãi kép

2.1. KHÁI NIỆM LÃI KÉP VÀ CƠNG THỨC TÍNH LÃI KÉP

2.1.1. Khái niệm lãi kép
Lãi kép là phương pháp tính tiền lãi bằng cách cộng tiền lãi của kỳ hạn trước vào số vốn vay
để tính tiền lãi cho kỳ kế tiếp trong suốt thời gian vay. Lãi kép còn được gọi là lãi nhập vốn
hoặc lãi góp vốn.

Ví dụ 2.1:
Ơng A gửi gửi tiền tiết kiệm với số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng thương mại
X, thời hạn 2 năm với lãi kép 10% năm.
Năm thứ 1: Ơng A nhận được tiền lãi: 100 triệu đồng * 10% = 10 triệu đồng
Cuối năm thứ 1: Ơng A có lãi nhập vốn: 100 triệu đồng + 10 triệu đồng =110 triệu đồng
Năm thứ 2: Ơng A nhận được tiền lãi: 110 triệu đồng * 10% = 11 triệu đồng
Như vậy, sau 2 năm Ơng A nhận được 21 triệu đồng tiền lãi và 100 triệu đồng vốn gốc.
Tổng số tiền cuối cùng Ơng A nhận được là 121 triệu đồng.

2.1.2. Cơng thức tính lãi kép
a. Cơng thức tính FV
:

FV = PV(1+r)
n

Theo ví dụ 2.1
Ta có FV = 100 (1+0,1)
2
= 100 * 1,21 = 121 triệu đồng



b. Cơng thức tính lãi kép I
n
:

I
n
= FV – PV = PV [(1+r)
n
– 1]
I
n
= 121 triệu đồng – 100 triệu đồng = 21 triệu đồng
hoặc I
n
= 100[(1+0,1)
2
– 1] = 21 triệu đồng




Page 5

c. Cơng thức tính n :
Từ cơng thức tính FV Tính
)1log(
)log(
r
PV
FV
n
+
=


d. Cơng thức tính r
:
1−=
PV
FV
nr


2.2. LÃI SUẤT TỶ LỆ, LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ LÃI SUẤT TRUNG BÌNH
TRONG LÃI KÉP

2.2.1. Lãi suất tỷ lệ
Lãi suất tỷ lệ là lãi suất theo năm được quy đổi theo kỳ ghép lãi (q, tháng, ngày…). nếu
gọi k là số kỳ ghép lãi trong năm. Cơng thức tính lãi suất tỷ lệ như sau:

k
r
r
TL
=

Ví dụ 2.2
: Ơng B gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng thương mại X, lãi kép 8%/năm,
lãi nhập vốn 3 tháng 1 lần. Tính V
n
sau khi gửi 2 năm.
r
TL
= r/m = 8%/4 = 2%/q

(Lãi suất 8%/năm tỷ lệ với lãi suất 2%/q)
n = 2 năm = 8 q
FV = 100.000.000(1+2%)
8
= 100.000.000 * 1,1717 = 117.170.000$

2.2.2. Lãi suất tương đương
Hai lãi suất r và r
k
tương ứng với 2 chu kỳ khác nhau được gọi là tương đương nhau khi với
cùng một số vốn, cùng thời gian sẽ cho cùng mức lãi như nhau
Nếu gọi: r là lãi suất năm, ta có: FV = PV(1+r)
n

và r
k
là lãi suất q FV = PV(1+r
k
)
nk

Như vậy FV = PV(1+r)
n
= PV(1+r
k
)
nk
Nên: (1+r)
n
= (1+r
k
)
nk
Vậy
11 −+= rkr


2.2.3. Lãi suất trung bình trong lãi kép
Cơng thức:

1
)1 ()1()1(
2
2
1
1
−
+++
=
nk
k
nn
TB
rrr
nr


Ví dụ 2.3
: Ơng C gửi số tiền 150 triệu đồng vào ngân hàng theo lãi kép với lãi suất biến đổi
như sau: 2 năm đầu với lãi suất 8%/năm, 3 năm tiếp theo với lãi suất 9%/năm và 4 năm cuối
với lãi suất 11%/năm. Tính tiền lãi của Ơng A sau 9 năm và lãi kép trung bình hằng năm là
bao nhiêu?
Page 6

a. Tính tiền lãi: FV = PV(1+r)
n


FV
2
= 150.000.000(1+8%)
2
= 174.960.000$
FV
5
= 174.960.000(1+9%)
3
= 226.578.000$
FV
9
= 276.578.000(1+11%)
4
= 343.962.000$
Tiền lãi sau 9 năm: 343.962.000$ - 150.000.000$ = 193.962.000$

b. Lãi kép trung bình:
FV
9
= PV (1+r
TB
)
9
= 343.962.000$
(1+r
TB
)
9
=
00.000.150
000.962.343
= 2,29308
%66,9129308,29 =−=
TB
r


2.3. Lãi suất thực trong lãi kép
Cơng thức:

1−
−
=
fPV
FV
nr
t


Ví dụ 2.4: Ơng A vay của ngân hàng 400 triệu đồng, lãi kép 9%/năm, kỳ ghép lãi 6 tháng,
vốn và lãi trả một lần khi đáo hạn. Lệ phí vay 0,5% vốn gốc. Tính lãi suất thực cho thời hạn
vay 3 năm và kỳ hạn vay 1 năm?

a. Với n = 3 năm = 6 kỳ 6 tháng
- Số tiền Ơng A phải trả : FV = 400.000.000(1+4,5%)
6
= 509.904.000$
- Vốn thực Ơng A nhận được: 400.000.000$ - (400.000.000 * 0,5%) = 398.000.000$
FV = 398.000.000$ (1+r
t
)
6
= 509.904.000$
()
281166,1
000.000.398
000.904.509
1
6
==+
t
r


%22,41281166,16 =−=
t
r
kỳ 6 tháng hoặc 8,44%/năm

b. Với n = 1 năm = 2 kỳ 6 tháng
- Số tiền Ơng A phải trả: FV = 400.000.000(1+4,5%)
2
= 436.810.000$
- Vốn thực Ơng A nhận được: 400.000.000$ - (400.000.000 * 0,5%) = 398.000.000$
FV = 398.000.000$ (1+r
t
)
2
= 436.810.000$

%76,41
000.000.398
000.810.436
2 =−=
t
r
kỳ 6 tháng hoặc 9,52%/năm

2.4. SO SÁNH GIỮA LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP
Ví dụ 2.5
: Ơng A đầu tư 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm. Tính giá trị Ơng A đạt được
theo 2 phương pháp lãi đơn và lãi kép trong 3 trường hợp: (a) Thời gian đầu tư là 1 năm; (b)
Thời gian đầu tư là 3 năm và (c) Thời gian đầu tư là 6 tháng?
Page 7

Giá trị đạt được theo lãi kép
Thời gian
Đầu tư (n)
Giá trị đạt được theo lãi đơn
FV
nĐ
= PV(1+n*r) FV
nK
= PV(1+r)
n
n = 1 năm FV
nĐ
= 100(1+1*12%) = 112
I
D
= 12
FV
nK
= 100(1+12%)
1
= 112
I
K
= 12
n = 3 năm FV
nĐ
= 100(1+3*12%) = 136
I
D
= 36
FV
nK
= 100(1+12%)
3
= 140,493
I
K
= 40,493
n = 6 tháng FV
nĐ
= 100(1+6/12*12%) = 106
I
D
= 6
FV
nK
= 100(1+12%)
1/2
= 105,83
I
K
= 5,83

2.5. ỨNG DỤNG LÃI KÉP

- Gửi tiết kiệm
- Cho vay
- Bài tập ứng dụng





























Page 8

CHƯƠNG 3: CHUỖI TIỀN TỆ (Annuities)

3.1. Tổng qt về chuỗi tiền tệ
3.2. Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ
3.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
3.4. Chuỗi tiền tệ biến đổi
3.5. Kỳ hạn trung bình của một chuỗi tiền tệ
3.6. Ứng dụng chuỗi tiền tệ

3.1. TỔNG QT VỀ CHUỖI TIỀN TỆ

3.1.1. Khái niệm
Chuỗi tiền tệ còn được gọi là chuỗi kỳ khoản, là một dăy những khoản tiền thanh tốn theo
nhiều khoảng cách thời gian bằng nhau. Chuỗi tiền tệ hình thành từ 4 yếu tố sau:
- Số kỳ thanh tốn (số lượng kỳ khoản) : n
- Số tiền thanh tốn mỗi kỳ : d
- Lãi suất tính cho mỗi kỳ : r
- Độ dài của 1 kỳ : năm, q, tháng

3.1.2. Phân loại chuỗi tiền tệ
- Chuỗi tiền tệ cố định (Constant Annuities): Số tiền thanh tốn mỗi kỳ bằng nhau.
- Chuỗi tiền tệ biến đổi (Variable Annuities): Số tiền thanh tốn mỗi kỳ khơng bằng nhau.
- Chuỗi tiền tệ có thời hạn: Số kỳ thanh tốn hữu hạn.
- Chuỗi tiền tệ khơng kỳ hạn: Số kỳ thanh tốn vơ hạn.
- Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ: Lần thanh tốn đầu tiên thực hiện ở thời điểm gốc.
- Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ: Lần thanh tốn đầu tiên thực hiện sau thời điểm gốc ít nhất
1 kỳ.

3.2. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỖI TIỀN TỆ

3.2.1. Giá trị tương lai (Future Value: FV) của chuỗi tiền tệ cuối kỳ
Cơng thức:

n
FV = ∑d
k
(1 + r)
n-k

k=1

Ví dụ 3.1
: Tính giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ cuối kỳ (3 năm) khơng ổn định: d
1
=
1.000; d
2
= 1.100 và d
3
= 1.200 với lãi suất 10%/năm.
FV = d
1
(1+r)
3-1
+ d
2
(1+r)
3-2
+ d
3
(1+r)
3-3
FV = 1.000(1+10%)
3-1
+ 1.100(1+10%)
3-2
+ 1.200(1+10%)
3-3
FV = 1.000*1,21 + 1.100*1,1 + 1.200 = 1.210 + 1.210 + 1.200 = 3.620

Page 9

3.2.2. Giá trị tương lai (Future Value: FV) của chuỗi tiền tệ đầu kỳ

a. Chuỗi tiền tệ biến đổi

n
FV = ∑d
k
(1 + r)
n-k+1

k=1

Ví dụ 3.2
: Tính giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đầu kỳ (3 năm) biến đổi: d
1
= 1.000; d
2

= 1.100 và d
3
= 1.200 với lãi suất 10%/năm.
FV = d
1
(1+r)
3
+ d
2
(1+r)
2
+ d
3
(1+r)
1
FV = 1.000(1+10%)
3
+ 1.100(1+10%)
2
+ 1.200(1+10%)
1
FV = 1.000*1,331 + 1.100*1,21 + 1.200*1,1 = 1.331 + 1.331 + 1.320 = 3.982

b. Chuỗi tiền tệ cố định: niên kim

n
FV = d ∑(1 + r)
n-k

k=1
hay FV =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
r
r
d
n
1)1(


Ví dụ 3.3
: Tính giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ ổn định 3 năm với d = 1.000đ, với lãi suất
10%/năm.
FV =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
%10
1%)101(
000.1
3
= 1.000*3,31 = 3.310đ
c. Chuỗi tiền tệ cố định có tần số lãi suất cao


⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
=
1)](1[
1)](1[
*
m
nm
m
r
m
r
dFV


Ví dụ 3.4:
Tính giá trị tương lai một niên khoản 3 năm, thanh tốn 1.000đ/năm, nhập lãi
hằng q, lãi suất 10%/năm?

()
()
22,322.3
1025,1
1025,1
000.1
4
12
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=FV
đ

3.3. GIÁ TRỊ HIỆN TẠI (HIỆN GIÁ: Present Value: PV) CỦA CHUỖI TIỀN TỆ
Giá trị hiện tại của tiền được xem là sự chiết khấu dòng tiền, tương đương với phép nghịch
đảo của q trình xác định giá trị tương lai của tiền.

Page 10

3.3.1. Giá trị hiện tại của những khoản thu nhập đơn

a. Giá trị hiện tại
: Chiết khấu hằng năm
Từ: FV = PV (1 + r)
n
ta có: n
r
FV
PV
)1( +
=


hay: PV = FV (1 + r)
-n


trong đó: r : tỷ suất chiết khấu
(1 + r)
-n
: hệ số chiết khấu


Ví dụ 3.5
: Tính giá trò hiện tại của 1.000 sẽ nhận được sau 3 năm với tỷ suất chiết khấu
10%/năm
PV = 1.000 (1 + 0,1)
-3
= 751,31
b. Giá trị hiện tại
: Tần suất chiết khấu cao

nm
m
r
FVPV
*
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=


Ví dụ 3.6
: Tính giá trị hiện tại của 1.000 sẽ nhận sau 3 năm, mỗi q chiết khấu một lần với
tỷ suất chiết khấu 10%/năm?
PV = 1.000 (1 + 0,025)
-12
= 743,56

3.3.2. Giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ

a. Chuỗi tiền tệ biến đổi (phát sinh cuối kỳ)

n
PV = ∑d
k
(1+r)
-k
k=1
Ví dụ 3.6: Tính giá trị hiện tại của một chuỗi tiền tệ 3 năm với d
1
= 1.000; d
2
= 1.100; d
3
=
1.200 với tỷ suất chiết khấu 10%/năm.
PV = d
1
(1+r)
-1
+ d
2
(1+r)
-2
+ d
3
(1+r)
-3
PV = 1.000(1+10%)
-1
+ 1.100(1+10%)
-2
+ 1.200(1+10%)
-3

PV = 1.000*0,9091 + 1.100*0,8264 + 1.200*0,7513
PV = 909,09 + 909,09 + 901,58 = 2.719,76

b. Chuỗi tiền tệ cố định
: niên kim

Page 11


⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
−
r
r
dPV
n
)1(1


Ví dụ 3.7: Tính giá trị hiện tại của một niên khoản 3 năm, d = 1.000 đều hằng năm với tỷ
suất chiết khấu 10%/năm.

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
−
%10
%)101(1
000.1
3
PV
= 1.000*2,4869 = 2.486,9


c. Chuỗi tiền tệ cố định
: tần số chiết khấu cao
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
−
1)(1
)(11
*
m
nm
m
r
m
r
dPV



Ví dụ 3.8
: Tính giá trị hiện tại số tiền sẽ thu sau 3 năm là 3.3322,22, chiết khấu hằng q, tỷ
suất chiết khấu 10%/năm?
000.1
1
4
%10
1
4
%10
11
22,322.3
4
3*4
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
=
−
PV

3.4. CHUỖI TIỀN TỆ BIẾN ĐỔI ĐẶC BIỆT

3.4.1. Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng
a. Giá trị tương lai
: Nếu gọi cơng sai là p, ta có cơng thức

r
pn
r
r
r
p
dFV
n
*1)1(
−
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=

b. Hiện giá
:
r
pn
r
r
pn
r
p
dPV
n
*)1(1
* −
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
−


Ví dụ 3.9
: Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 10 kỳ khoản, kỳ khoản đầu tiên là 20
triệu đồng, các kỳ sau tăng hơn kỳ trước 5 triệu đồng. Tính giá trị tương lai và giá trị hiện tại
của chuỗi tiền tệ với mức lãi suất 6%/kỳ?
Page 12

682,528
%6
5*10
%6
1%)61(
%6
5
20
10
=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=FV


213,295
%6
5*10
%6
%)61(1
5*10
%6
5
20
10
=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
−
PV


3.4.2. Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân
a. Giá trị tương lai
: Nếu gọi q là cơng bội, ta có cơng thức


⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
=
)1(
)1(
rq
rq
dFV
nn


b. Hiện giá



⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
+=
−
)1(
)1(
)1(
rq
rq
rdPV
nn
n


Ví dụ 3.10
: Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 8 kỳ khoản, kỳ khoản đầu tiên là 300,
các kỳ sau tăng hơn kỳ trước 10%, lãi suất 12%/kỳ. Tính giá trị tương lai và giá trị hiện tại
của chuỗi tiền tệ?
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+−
+−
= 615,985.4
%)121(1,1
%)121(1,1
300
88
FV



⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
+=
−
%)121(1,1
%)121(1,1
%)121(300
88
8
PV


606,013.2
12,11,1
12,11,1
12,1*300
88
8
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−

c. Chú ý
: Trong trường hợp đặc biệt q = (1+r), ta có:
FV = n*d(1+r)
n-1
và PV = n*d(1+r)
-1
Lấy ví dụ 3.10, nếu lãi suất là 10%, ta có:
FV = 8*300(1+10%)
7
= 4.676,921
PV = 8*300(1+10%)
-1
= 2.611,568

3.5. KỲ HẠN TRUNG BÌNH CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ

Nếu gọi: - Kỳ hạn trung bình của một chuỗi tiền tệ : x
- Số kỳ khoản : n
Ta có cơng thức:
Page 13


)1log(
)1(1
*
log
r
r
rn
x
n
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
−


Ví dụ 3.11
: Tính kỳ hạn trung bình của một chuỗi tiền tệ cố định có 8 kỳ khoản với lãi suất
8%/kỳ?
08.1log
392118.1log
%)81log(
%)81(1
%8*8
log
8
=
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
−
x = 4,298621 = 4 năm 3 tháng 18 ngày

3.6. ỨNG DỤNG CHUỖI TIỀN TỆ

3.6.1. Thiết lập và thẩm định dự án đầu tư:
- Đưa các khoản chi đầu tư trong tương lai về giá trị hiện tại.
- Đưa các khoản thu nhập trong tương lai về giá trị hiện tại.

3.6.2. Hoạch định chính sách bán chịu, bán trả góp
- Đưa các khoản bán chịu sẽ thu được trong tương lai về giá trị hiện tại.
- Xác định các khoản trả góp.

3.6.3. Xác định phương pháp tính khấu hao có lợi do điều tiết thuế

3.6.4. Định giá chứng khốn

3.6.5. Tính lãi suất ngầm















Page 14